Der allgemeine Differenzialgleichungsquotient kann definiert werden als:
$$ \frac{di}{dt} = f(t,i) $$
Der Differenzialgleichungsquotient selber ist normalerweise von der abzuleitenden Größe
abhängig
(Beispiel 1).
$$ E(t) = L \cdot \frac{di}{dt} + R \cdot i $$
Wenn man diese Gleichung lösen will, muss man die Gleichung zuerst nach dem Differenzialkoeefizienten umstellen: $$ \frac{di}{dt} = \frac { E(t) - R \cdot i }{L} $$
Jetzt kann man sich den verschiedenen Integrationsverfahren zuwenden, wobei das einfachster Verfahren der explizite Euler ist. Die folgenden manuellen Verfahren werden im folgenden vorgestellt:
Spätestens beim Trapezverfahren fällt auf, dass die Umstellung der Gleichung sehr aufwändig wird. Insbesondere wenn die Differenzialgleichung zu einer Matrizenrechnung mutiert, wird das ganze schnell unübersichtlich. Deshalb gibt es zwei Möglichkeiten dies zu umgehen:
Bei den impliziten Verfahren muss den Gleichungssatz nach den Zustandsgrößen aufgelöst werden. Dabei muss aber auch dividiert werden. Bei einem Problem mit mehreren Zustandsgrößen ( z.b. bei Problemen die man besser in Matrixdarstellung löst) kann das sehr aufwändig, bis unmöglich werden.
Für die explizite Eulervariante stellt sich das Problem nicht, da hier nicht aufgelöst werden muss. Die Gleichung ist ja direkt lösbar (und muss auch direkt lösbar sein!).
Das erste mal taucht das Problem beim impliziten Euler auf. Hier kann die Umstellung des Problems bei Matrizenrechnungen schon anstrengend werden. Besonders ärgerlich ist die Matrixinversion, die bei jeder Schrittweitenänderung (Änderung von dt) oder einer Änderung von R neu durchgeführt werden muss.
Da das Problem sehr alt ist, haben sich schon verschieden Mathematiker hierzu Gedanken gemacht. Die Gleichung muss dazu in der Form
$$ A \cdot x = b $$
vorliegen. Wobei A eine Matrix und b ein Vektor ist. Die Gleichungslöser können ohne Matrixinversion von A eine Lösung für x ermitteln.
Die Differentialgleichung muss im Lösungsabschnitt linear sein, oder wenigstens linear angenähert werden können.
Die folgenden Verfahren mit Gleichungslöser werden im folgenden vorgestellt: