Für das Trapezverfahren greifen wir auch wieder auf die Variante vom expliziten Euler zurück, und erweitern diesen um den impliziten Teil.
expliziter Euler:
\[ x1 = x0 + \Delta t \cdot A_1^{-1} \cdot (C_1-B_1 \cdot x0) \]
impliziter Euler:
\[ x1 = x0 + \Delta t \cdot A_1^{-1} \cdot (C_1-B_1 \cdot x1) \]
Mittelwertbildung:
\[ x1 = x0 + \Delta t \cdot A_1^{-1} \cdot (C_1 - B_1 \cdot \frac{x0+x1}{2} ) \]
jetzt muss noch ein wenig umgestellt werden:
\[ (A_1 + \frac{\Delta t \cdot B_1}{2} ) \cdot x1 = (A_1 + \frac{\Delta t \cdot B_1}{2} ) \cdot x0 + \Delta t \cdot C_1 \]
Mit ähnlichen Vereinfachungen wie beim impliziten Euler
\[ A = A_1 + \frac{\Delta t \cdot B_1}{2} \] \[ b = ( A_1 + \frac{\Delta t \cdot B_1}{2} ) \cdot x0 + \Delta t \cdot C_1 \]
kann man dies wiederum als\( A \cdot x1 = b \) darstellen und mit einem Gleichungslöser (s.o.) lösen. Dieses halbimplizite Lösungsverfahren ist auch unter dem Namen "Crank-Nicolson-Verfahren" bekannt.