Das allgemeine Problem aller Zeitschrittlösungen besteht darin, dass man gern den Differentialquotienten am Anfang und Ende (evt auch mittendrin) des Zeitschrittes kennen möchte. Die impliziten Verfahren verlangen ja die genaue mathematische Lösung. Einfacher gehen hier die rekursven Verfahren. Die Rekursiven Verfahren versuchen das Problem mittels Extrapolation zu lösen. Um zb. eine Impliziten Eulerschritt zu machen, kann man auch erst einen expliziten Eulerschritt machen, und dann mit diesem Ergebnis in den nächsten Eulerschritt reingehen. Damit kann man sich dem Arbeitspunkt immer mehr annähern.
Wieder muss das erste Beispiel herhalten.
Expliziter Eulerschritt:
$$ i1a = i0 + \Delta t \cdot \frac{e0 - R \cdot i0}{L} $$
Mithilfe dieses ersten Schrittes steht jetzt eine Arbeitspunktextrapolation zu Verfügung. Jetzt kann man in einem zweiten, rekursiven Schritt, den Arbeitspunkt genauer annähern:
$$ i1b = i0 + \Delta t \cdot \frac{e1 - R \cdot i1a}{L} $$
Als Lösung des Zeitschrittes kann als Ergebnis der Mittelwert errechnet werden:
$$ i1 = \frac{ i1a + i1b}{2} $$
Die obige Lösung nähert eine Trapezlösung an. Sie ist bekannt als Heun-Verfahren und hat Konvergenzordnung 2 (statt Ordnung 1 wie expliziter/impliziter Euler). Da hier aber, anders als beim Trapezverfahren, kein Gleichungssystem für den neuen Zeitpunkt gelöst wird, ist das Ergebnis nur eine explizite Näherung an die (implizite) Trapezlösung, nicht mit ihr identisch.
Für eine bessere Übersicht über die rekursiven Verfahren ist das Runge-Kutta-Verfahren ein sehr guter Einstiegspunkt.
Wenn es um numerische Integration von Differentialgleichungen geht, wird gerne auf Runge-Kutta verwiesen. Gemeint ist damit das klassische, 4-stufige Runge-Kutta-Verfahren Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren . Das Verfahren hat Konvergenzordnung 4 und zeichnet sich dadurch aus, dass es noch bessere Ergebnisse bringt, als das Heun Verfahren (Ordnung 2). Gleichzeitig gibt es für die Runge-Kutta Integrationsverfahren noch Erweiterungen um den Integrationsfehler abschätzen zu können. Dies wird dann für eine Schrittweitensteuerung mit variabler Schrittweite benötigt. Weiterführende Infos zu den Verfahren kann man im Internet unter "Runge–Kutta–Fehlberg" finden.
Allgemein setzen die rekursiven Verfahren vorraus, daß der Differentialquotient als Funktion darstellbar ist. Dies ist aber z.b. in dem obigen Matrixbeispiel nicht gegeben, da die Matrix A1 nicht inverierbar ist. Die hier erwähnten Verfahren können also nur für spezielle Probleme verwendet werden.
Es bleibt allerdings zu erwähnen, dass es auch implizite rekursive Verfahren gibt, die hier evt besser geeignet sind: Implizite_Runge-Kutta-Verfahren